第三节 积分
一、不定积分 ★★★★★
(一)不定积分的基本概念
已知函数f(x)是一个定义在某区间的函数,如果存在函数F(x),使得在该区间内的任一点都有
dF′(x)=f(x)dx,
则在该区间内,称函数F(x)为函数f(x)的原函数.
函数f(x)的全体原函数叫做函数f(x)的不定积分, 记作∫f(x)dx.
如果函数F(x)为函数f(x)的一个原函数,那么f(x)的不定积分∫f(x)dx就是函数族 F(x)+C. 即∫f(x)dx=F(x)+C.
(二)不定积分的性质
1.函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和
即:∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx.
2.求不定积分时,被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来
即:∫kf(x)dx=k∫f(x)dx.
(三)常见积分公式
(1)∫kdx=kx+C(2)∫xadx=1a+1xa+1+C
(3)∫1xdx=lnx+C(4)∫axdx=axlna+C
(5)∫exdx=ex+C(6)∫sinxdx=-cosx+C
(7)∫cosxdx=sinx+C(8)∫sec2xdx=∫1cos2xdx=tanx+C
(9)∫csc2xdx=∫1sin2xdx=-cot x+C
(10)∫11-x2dx=arcsin x+C
(11)∫11+x2dx=arctanx+C
(四)求不定积分的方法
1.换元法
(1)设f(u)具有原函数F(u),u=g(x)可导,那么F[g(x)]是f[g(x)]g′(x)的原函数.
即有换元公式:∫f[g(x)]g′(x)dx=F[g(x)]+C.
例1求∫2cos2xdx.
解:设u=2x,那么cos2x=cosu,du=2dx,因此:
∫2cos2xdx=∫cosudu=sinu+C=sin2x+C.
(2)设x=g(t)是单调、可导的函数,并且g′(t)≠0,又设f[g(t)]g′(t)具有原函数φ(t),
则φ[g(x)]是f(x)的原函数[其中g(x)是x=g(t)的反函数].
即有换元公式:∫f(x)dx=φ[g(x)]+C.
例2求∫a2-x2dx(a>0).
解:设x=asint-π2<t<π2,那么a2-x2=a2-a2sin2t=acost,dx=acostdt,于是有:
∫a2-x2dx=∫acost·acostdt=a2∫cos2tdt=a2t2+sin 2t4+C=a22arcsin xa+12xa2-x2+C.