第一节 点、线、面及其位置关系
一、点、线、面 ★★★
1.空间图形是由点、线、面组成的
空间图形的基本元素是点、直线、平面.从运动的观点看,点动成线,线动成面,从而可以把直线、平面看成是点的集合,因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外,还可借用集合中的符号语言来表示.规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示,点用一个大写的英文字母表示,而平面则用一个小写的希腊字母表示.
点、线、面的基本位置关系如下表所示:
图形符号语言文字语言(读法)
A∈a点A在直线a上
Aa点A不在直线a上
A∈α点A在平面α内
Aα点A不在平面α内
a∩b=A直线a、b交于A点
aα直线a在平面α内
a∩α=直线a与平面α无公共点
a∩α=A直线a与平面α交于点A
α∩β=l平面α、β相交于直线l
集合中“∈”的符号只能用于点与直线、点与平面的关系,“”和“∩”的符号只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系,虽然借用于集合符号,但在读法上仍用几何语言.
2.平面的基本性质及其应用
公理1:如果一条直线上两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内.
公理2:过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面.
公理2的推论:
①经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面;
②经过两条相交直线,有且只有一个平面;
③经过两条平行直线,有且只有一个平面.
公理3:如果不重合的两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过这个点的公共直线.
(1)公理1可用来证明点在平面内或直线在平面内;
(2)公理2可用来确定一个平面,为平面化作准备或用来证明点线共面;
(3)公理3可用来确定两个平面的交线,或证明三点共线,三线共点.
3.点共线、线共点、点线共面
(1)点共线问题
证明空间点共线问题,一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上.
(2)线共点问题
证明空间三线共点问题,先证两条直线交于一点,再根据第三条直线经过这点,把问题转化为证明点在直线上.
(3)证明点线共面的常用方法
①纳入平面法:先确定一个平面,再根据有关点、线在此平面内;
②辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面α,再证明其余元素确定平面β,最后证明平面α、β重合.
例1将下列文字语言转化为符号语言:
(1)点A在平面α内,但不在平面β内;
(2)直线a经过平面α外一点M;
(3)直线l在平面α内,又在平面β内.(即平面α和β相交于直线l.)
解:(1)A∈α,Aβ;
(2)M∈a,Mα;
(3)lα,lβ(即α∩β=l).