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　　第四节  线性空间
　　一、线性空间 ★★★
　　1.线性空间的定义
　　设V是一个非空集合，其元素用x、y、z 等表示；K是一个数域，其元素用k，l，m等表示.
　　（1）在V中定义一个“加法”运算，即当x、y∈V时，有唯一的和x+y∈V（封闭性），且加法运算满足下列性质：
　　① 结合律：x+（y+z）=（x+y）+z；
　　② 交换律：x+y=y+x；
　　③ 零元律：存在零元素0，使x+0=x；
　　④ 负元律：对于任一元素x∈V，存在一元素y∈V，使x+y=0，则称y为x的负元素，记为-x.则有x+（-x）=0.
　　（2）在V中定义一个“数乘”运算（数与向量的乘法），即当x∈V，k∈K时，有唯一的kx∈V（封闭性），且数乘运算满足下列性质：
　　① 数因子分配律：k(x+y)=kx+ky；
　　② 分配律：(k+l)x=kx+lx；
　　③ 结合律：k(lx)=(kl)x；
　　④ 恒等律：1x=x.
　　注意：
　　线性空间不能离开某一数域来定义.因为同一个集合，如果数域不同，该集合构成的线性空间也不同.

　　当数域K为实数域时，V就称为实线性空间；K为复数域时，V就称为复线性空间.
　　真题点睛
　　设R+＝{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为
　　x+y=xy,k·x=xk
　　证明：R+是实数域R上的线性空间.
　　【名师点评】 （1）唯一性和封闭性
　　唯一性：显然若x>0,y>0,k∈R，则有x+y=xy∈R+，k·x=xk∈R+.
　　封闭性得证.
　　（2）八条性质
　　① x+（y+z）=x(yz)=(xy)z=(x+y)+z
　　② x+y=xy＝yx=y+x
　　③ 1是零元素x+1＝x·1=x［x+0=x→x+0=x→0=1］
　　④ 1x是x的负元素x+1x＝x·1x=1［x+y=0］
　　⑤ k·（x+y）=（xy）k=xkyk=k·x+k·y［数因子分配律］
　　⑥ （k+1）·x=xk+1=xkx1=（k·x）+（1·x）［分配律］
　　⑦ k·（1·x）=（x1）k=xk1=（k1）·x［结合律］
　　⑧ 1·x=x′=x［恒等律］
　　由此可证，R+是实数域R上的线性空间.
　　2.线性空间的性质
　　（1）线性空间V的零元素是唯一的，任一元素的负元素也是唯一的.
　　（2）线性空间V中，若x∈V,k∈K，则恒等式成立：0x=0，(-1)x=(-x)，k0=0.
　　3.线性相关性
　　线性组合：
　　x1,x2…xm∈V,c1,c2…cm∈K
　　c1x1+c2x2+…+cmxm∑mi=1cixi
　　称为元素组x1,x2,…,xm的一个线性组合.
　　线性表示：V中某个元素x可表示为其中某个元素组的线性组合，则称x可由该元素组线性表示.
　　线性相关性：如果存在一组不全为零的数c1，c2,…,cm∈K，使得对于元素x1，x2,…,xm∈V有
　　∑mi=1cixi=0
　　则称元素组x1,x2,…,xm线性相关，否则称其线性无关.
　　4.线性空间的维数
　　线性空间V中最大线性无关元素组所含元素个数称为V的维数，记为dimV.