第三节 线性方程组
一、一般线性方程组 ★★★ 关于未知变量x1,x2,…,xn的n元一次方程组
a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1
am1x1+am2x2+…+amnxn=bm(*)
称为n元线性方程组,其中x1,x2,…xn表示n个未知量,m是方程组中方程的个数,aij为系数,bj为常数项.
若b1=b2=…bm=0上述方程组称为齐次线性方程组,若b1,b2,…,bm不全为零,则称为非齐次线性方程组.
利用矩阵的记号,上述方程组可以写成 AX=b,其中
A=a11…a1x
am1…amnX=x1
x2
xnβ=b1
b2
bn
于是线性方程组可改为 AX= β.记:
=(A,β)=a11a12…a1nb1
a21a22…a2nb2
an1an2…amnbm
称为(*)方程组的增广矩阵.
定理1如果线性方程组AX=β有两个不同的解,那么它一定有无穷多解.
定义设A1X=β1、A2X=β2是两个由m个方程组成的n元线性方程组,如果A1X=β1的解都是A2X=β2的解,A2X=β2的解都是A1X=β1的解,即线性方程组A1X=β1,A3X=β2有相同的解,那么称它们为同解方程组,或称这两个方程组同解.
定理2如果线性方程组A1X=β1的增广矩阵A=(A1β1)经过有限次行初等变换变成矩阵2,2作为增广矩阵对应于线性方程组A2X=β2那么,线性方程组A1X=β1、A2X=β2是同解方程组.
对于齐次线性方程组
a11x1+a12x2+…+a1nxn=0,
a21x2+a22x2+…+a2xxn=0,
…
am1x1+am2x2+…+amnxn=0.(1)
由于x1=x2=…=xn=0总是它的一个解(通常称为零解),所以齐次线性方程组的解总是存在的.问题是它会不会有非零解,从而有无穷多解.
推论1如果齐次线性方程组(1)的系数矩阵A的阶梯形中非零行的数目r小于未知数的数目n,那么它一定有非零解.
推论2如果齐次线性方程组(1)的方程数目m小于未知数的数目n,那么它一定有非零解.
推论3如果齐次线性方程组(1)的未知数的数目n不超过方程的数目m,那么,当且仅当 r=n 时,它只有非零解.