第三节 积分
一、不定积分 ★★★★★
(一)不定积分的基本概念
已知函数f(x)是一个定义在某区间的函数，如果存在函数F(x)，使得在该区间内的任一点都有
dF′(x)=f(x)dx，
则在该区间内，称函数F(x)为函数f(x)的原函数.
函数f(x)的全体原函数叫做函数f(x)的不定积分， 记作∫f(x)dx.
如果函数F(x)为函数f(x)的一个原函数，那么f(x)的不定积分∫f(x)dx就是函数族 F(x)+C. 即∫f(x)dx=F(x)+C.
(二)不定积分的性质
1.函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和
即：∫［f（x）+g（x）］dx=∫f（x）dx+∫g（x）dx.
2.求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来
即：∫kf（x）dx=k∫f（x）dx.
(三)常见积分公式
（1）∫kdx=kx+C（2）∫xadx=1a+1xa+1+C
（3）∫1xdx=lnx+C（4）∫axdx=axlna+C
（5）∫exdx=ex+C（6）∫sinxdx=-cosx+C
（7）∫cosxdx=sinx+C（8）∫sec2xdx=∫1cos2xdx=tanx+C
（9）∫csc2xdx=∫1sin2xdx=-cot x+C
（10）∫11-x2dx=arcsin x+C
（11）∫11+x2dx=arctanx+C
(四)求不定积分的方法
1.换元法
(1)设f(u)具有原函数F(u)，u=g(x)可导，那么F［g(x)］是f［g(x)］g′(x)的原函数.
即有换元公式:∫f［g(x)］g′(x)dx=F［g(x)］+C.
例1求∫2cos2xdx.
解：设u=2x，那么cos2x=cosu，du=2dx，因此：
∫2cos2xdx=∫cosudu=sinu+C=sin2x+C.
（2）设x=g(t)是单调、可导的函数，并且g′(t)≠0，又设f［g(t)］g′(t)具有原函数φ(t)，
则φ［g(x)］是f(x)的原函数［其中g(x)是x=g(t)的反函数］.
即有换元公式:∫f(x)dx=φ［g(x)］+C.
例2求∫a2-x2dx(a>0).
解：设x=asint-π2<t<π2，那么a2-x2=a2-a2sin2t=acost，dx=acostdt,于是有：
∫a2-x2dx=∫acost·acostdt=a2∫cos2tdt=a2t2+sin 2t4+C=a22arcsin xa+12xa2-x2+C.
