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教师招聘考试中学数学:微分

http://teacher.eol.cn  来源:  作者:  2012-10-30  字体:  

  第二节  微分
  一、微分的定义 ★★
  设函数在某区间内有定义,x0及x0+Δx在这区间内,若函数的增量可表示为Δy=AΔx+o(Δx),其中A是不依赖于Δx的常数,o(Δx)是Δx的高阶无穷小,则称函数y=f(x)在点x0处可微.AΔx叫做函数y=f(x)在点x0相应于自变量增量Δx的微分,记作dy,即:dy=AΔx.
  微分dy是自变量改变量Δx的线性函数,dy与Δy的差o(Δx)是关于Δx的高阶无穷小量,我们把dy称作Δy的线性主部.可得出:当Δx→0时,(Δy)≈dy.导数的记号为:dydx=f′(x).
  由此我们得出:若函数在某区间上可导,则它在此区间上一定可微,反之亦成立.
  二、微分的运算法则
  (一)运算法则
  函数和、差、积、商的求导法则函数和、差、积、商的微分法则
  (u±v)′=u′±v′d(u±v)=du±dv
  (Cu)′=Cu′d(Cu)=Cdu
  (uv)′=u′v+uv′d(uv)=vdu+udv
  uv′=u′v-uv′v2duv=vdu-udvv2
  (二)基本初等函数的微分公式
  导数公式微分公式
  (C)′=0d(C)=0
  (x)′=1d(x)=dx
  (xn)′=nxn-1d(xn)=nxn-1dx
  (sinx)′=cosxd(sinx)=cosxdx
  (ex)′=exd(ex)=exdx
  (lnx)′=1xd(lnx)=dxx
  真题点睛
  设f(x)=sinxx,求f(x)对x3的导数.
  【名师点评】 根据微分形式的不变性,有:
  df(x)dx3=dsinxxdx3=xcosx-sinxx2dx3x2dx=xcosx-sinx3x4.

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