第二节 微分
一、微分的定义 ★★
设函数在某区间内有定义,x0及x0+Δx在这区间内,若函数的增量可表示为Δy=AΔx+o(Δx),其中A是不依赖于Δx的常数,o(Δx)是Δx的高阶无穷小,则称函数y=f(x)在点x0处可微.AΔx叫做函数y=f(x)在点x0相应于自变量增量Δx的微分,记作dy,即:dy=AΔx.
微分dy是自变量改变量Δx的线性函数,dy与Δy的差o(Δx)是关于Δx的高阶无穷小量,我们把dy称作Δy的线性主部.可得出:当Δx→0时,(Δy)≈dy.导数的记号为:dydx=f′(x).
由此我们得出:若函数在某区间上可导,则它在此区间上一定可微,反之亦成立.
二、微分的运算法则
(一)运算法则
函数和、差、积、商的求导法则函数和、差、积、商的微分法则
(u±v)′=u′±v′d(u±v)=du±dv
(Cu)′=Cu′d(Cu)=Cdu
(uv)′=u′v+uv′d(uv)=vdu+udv
uv′=u′v-uv′v2duv=vdu-udvv2
(二)基本初等函数的微分公式
导数公式微分公式
(C)′=0d(C)=0
(x)′=1d(x)=dx
(xn)′=nxn-1d(xn)=nxn-1dx
(sinx)′=cosxd(sinx)=cosxdx
(ex)′=exd(ex)=exdx
(lnx)′=1xd(lnx)=dxx
真题点睛
设f(x)=sinxx,求f(x)对x3的导数.
【名师点评】 根据微分形式的不变性,有:
df(x)dx3=dsinxxdx3=xcosx-sinxx2dx3x2dx=xcosx-sinx3x4.