第二节 复数的运算
一、复数的加减法运算及几何意义 ★★
1.复数的加法
(1)法则:设z1=a+bi,z2=c+di,z1、z2为任意两个复数,那么z1+z2=(a+bi)+(c+di)=
(a+c)+(b+d)i,显然,两个复数的和仍然是一个确定的复数.
(2)运算律:z1,z2,z3∈C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
(3)几何意义:设OZ1、OZ2分别与复数a+bi、c+di对应,则有OZ1=(a,b)、OZ2=(c,d),由平面向量的坐标运算,有OZ1+OZ2=(a+c,b+d),即OZ1+OZ2是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量,故复数的加法可以按照向量的加法来进行,这是复数加法的几何意义.
2.复数的减法
(1)法则:(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i,显然,两个复数的差仍是一个确定的复数.
(2)减法的几何意义:复数的减法满足向量的三角法则,如右图所示,OZ1-OZ2=(a-c,b-d),即向量OZ1-OZ2与复数(a-c)+(b-d)i对应.
二、复数的乘法和除法 ★★
1.复数的乘法按多项式相乘进行,即
(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i.
2.复数除法是乘法的逆运算,其实质是分母实数化.
三、相关知识点 ★★★
关于两个复数的和与差的模,有以下不等式:
(1)|z1+z2|≤|z1|+|z2|;
(2)|z1+z2|≥|z1|-|z2|;
(3)|z1-z2|≤|z1|+|z2|;
(4)|z1-z2|≥|z1|-|z2|;
(5)|Rez|≤|z|,|Imz|≤|z|;
(6)|z|2=zz;
(7)棣莫佛定理:[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ)(n∈Z);
(8)若非零复数z=r(cosα+isinα),则z的n次方根有n个,即:
zk=nrcos2kπ+αn+isin2kπ+αn(k=0,1,2,…,n-1).
四、共轭复数 ★★★★
1.定义
当两个复数的两个实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数(实数的共轭复数是它本身).如a+bi与a-bi互为共轭复数.复数z的共轭复数常记为z.
2.几何意义
若z1与z2是共轭复数,那么在复平面内z1与z2对应的点关于实轴对称.
3.运算
z1=a+bi与z2=a-bi是共轭复数,z1·z2=(a+bi)·(a-bi)=a2+b2,显然,z1·z2=|z1|2=|z2|2.
重要结论:
(1)对复数z、z1、z2和自然数m、n,有
zm·zn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1·z2)n=zn1·zn2.
(2)i1=i,i2=-1,i3=-i,i4=1;
i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1.
(3)(1±i)2=±2i,1-i1+i=-i,1+i1-i=i.
(4)设ω=-1+3i2,则ω2=ω,2=ω,1+ω+ω2=0,ω3n=ω3n,ωn+ωn+1+ωn+2=0.