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教师招聘考试中学数学:复数的运算

http://teacher.eol.cn  来源:  作者:  2012-10-30  字体:  

  第二节  复数的运算
  一、复数的加减法运算及几何意义 ★★
  1.复数的加法
  (1)法则:设z1=a+bi,z2=c+di,z1、z2为任意两个复数,那么z1+z2=(a+bi)+(c+di)=
  (a+c)+(b+d)i,显然,两个复数的和仍然是一个确定的复数.
  (2)运算律:z1,z2,z3∈C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
  (3)几何意义:设OZ1、OZ2分别与复数a+bi、c+di对应,则有OZ1=(a,b)、OZ2=(c,d),由平面向量的坐标运算,有OZ1+OZ2=(a+c,b+d),即OZ1+OZ2是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量,故复数的加法可以按照向量的加法来进行,这是复数加法的几何意义.
  2.复数的减法
  (1)法则:(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i,显然,两个复数的差仍是一个确定的复数.
  (2)减法的几何意义:复数的减法满足向量的三角法则,如右图所示,OZ1-OZ2=(a-c,b-d),即向量OZ1-OZ2与复数(a-c)+(b-d)i对应.
  二、复数的乘法和除法 ★★
  1.复数的乘法按多项式相乘进行,即
  (a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i.
  2.复数除法是乘法的逆运算,其实质是分母实数化.
  三、相关知识点 ★★★
  关于两个复数的和与差的模,有以下不等式:
  (1)|z1+z2|≤|z1|+|z2|;
  (2)|z1+z2|≥|z1|-|z2|;
  (3)|z1-z2|≤|z1|+|z2|;
  (4)|z1-z2|≥|z1|-|z2|;
  (5)|Rez|≤|z|,|Imz|≤|z|;
  (6)|z|2=zz;
  (7)棣莫佛定理:[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ)(n∈Z);
  (8)若非零复数z=r(cosα+isinα),则z的n次方根有n个,即:
  zk=nrcos2kπ+αn+isin2kπ+αn(k=0,1,2,…,n-1).
  四、共轭复数 ★★★★
  1.定义
  当两个复数的两个实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数(实数的共轭复数是它本身).如a+bi与a-bi互为共轭复数.复数z的共轭复数常记为z.
  2.几何意义
  若z1与z2是共轭复数,那么在复平面内z1与z2对应的点关于实轴对称.
  3.运算
  z1=a+bi与z2=a-bi是共轭复数,z1·z2=(a+bi)·(a-bi)=a2+b2,显然,z1·z2=|z1|2=|z2|2.
  重要结论:
  (1)对复数z、z1、z2和自然数m、n,有
  zm·zn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1·z2)n=zn1·zn2.
  (2)i1=i,i2=-1,i3=-i,i4=1;
  i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1.
  (3)(1±i)2=±2i,1-i1+i=-i,1+i1-i=i.
  (4)设ω=-1+3i2,则ω2=ω,2=ω,1+ω+ω2=0,ω3n=ω3n,ωn+ωn+1+ωn+2=0.

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