第二节 空间向量
一、空间向量坐标系 ★★★ 1.空间向量的坐标
(1)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长都为1,这个基底叫做单位正交基底,用{i,j,k}表示;
(2)在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k},以点O为原点,分别以i、j、k的方向为正方向建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们称为坐标轴.我们称建立了一个空间直角坐标系O-xyz,点O叫原点,向量i、j、k为坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面,分别称为xOy平面,yOz平面,zOx平面;
(3)空间直角坐标系中的坐标: 在空间直角坐标系O-xyz中,对空间任一点A,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使OA=x i+y j+z k,有序实数组(x,y,z)叫做向量A在空间直角坐标系O-xyz中的坐标,记作A(x,y,z),x叫横坐标,y叫纵坐标,z叫竖坐标.
2.空间向量
定义:在空间中,具有大小和方向的量叫做空间向量.
注:(1)空间的一个平移就是一个向量;
(2)向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的向量;
(3)空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示.
3.空间向量的夹角及其表示
已知两非零向量a,b,空间任取一点O,作OA=a,OB=b,则∠AOB叫做向量a与b的夹角,记作〈a,b〉;且规定0≤〈a,b〉≤π,显然有〈a,b〉=〈b,a〉;若〈a,b〉=π2,则称a与b互相垂直,记作:a⊥b.
4.向量的模
设OA=a,则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模,记作:|a|.
二、空间向量运算 ★★★ 1.运算法则
(1)空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下:
OB=OA+AB=a+b
BA=OA-OB=a-b
OP=λa(λ∈R)
(2)运算律:
(1)加法交换律:a+b=b+a
(2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)
(3)数乘分配律:λ(a+b)=λa+λb
2.向量的数量积
a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉.
已知向量AB=a和轴l,e是l上与l同方向的单位向量,作点A在l上的射影A′,作点B在l上的射影B′,则A′B′叫做向量AB在轴l上或在e上的正射影.
可以证明A′B′的长度|A′B′|=|AB|cos〈a,e〉=|a·e|.
3.空间向量数量积的性质
(1)a·e=|a|cos〈a,e〉.
(2)a⊥ba·b=0.
(3)|a|2=a·a.