教师招聘考试中学数学:二项式定理
http://teacher.eol.cn 来源: 作者: 2012-10-29 字体:大 中 小
第二节 二项式定理
一、二项式定理 ★
二项式定理:(a+b)n=C0nan+C1nan-1b1+…+Crnan-rbr+…+Cnnbn(n∈N*).
(1)右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式.
(2)各项的系数Crn叫做二项式系数.
(3)式中的Crnan-rbr叫做二项展开式的通项,它是二项展开式的第r+1项.
即Tr+1=Crnan-rbr(r=0,1,2,…,n).
(4)二项展开式的特点:
① 共n+1项;
② 按字母a的降幂排列,次数从n到0递减;
③ 二项式系数Crn中r从0到n递增,与b的次数相同;
④ 每项的次数和都是n.
二、二项式系数的性质 ★
性质1(a+b)n的二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即Cmn=Cn-mn.
性质2二项式系数表中,除两端以外其余位置的数都等于它肩上两个数之和,即Cmn+Cm-1n=Cmn+1.
性质3(a+b)n的二项展开式中,所有二项式系数的和等于2n,即C0n+C1n+…+Cnn=2n.
性质4(a+b)m的二项展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,即C0n+C2n+…+C2rn+…=C1n+C3n+…+C2r+1n+…=2n-1.
性质5(a+b)n的二项展开式中,当n为偶数时,中间一项的二项式系数Cn2n取得最大值;当n为奇数时,中间两项的二项式系数相等,都为Cn-12n且同时取得最大值 (即中间项的二项式系数最大).
三、二项式定理的常见题型及解法 ★★★
1.求二项展开式
(1)“(a+b)n”型的展开式
例1求3x+1x4的展开式.
解:原式=3x+1x4=(3x+1)4x2
=1x2C04(3x)4+C14(3x)3+C24(3x)2+C34(3x)+C44
=1x2(81x4+108x3+54x2+12x+1)
=81x2+108x+12x+1x2+54.
(2)“(a-b)n”型的展开式
例2求3x-1x4的展开式.
分析:解决此题,只需要把3x-1x4改写成3x+-1x4的形式然后按照二项展开式的格式展开即可.
解:原式=3x+-1x4=3x-1x4=(3x-1)4x2
=1x2C04(3x)4-C14(3x)3+C24(3x)2-C34(3x)+C44
=81x2-108x+12x-1x2+54.
免责声明:
① 凡本站注明“稿件来源:中国教育在线”的所有文字、图片和音视频稿件,版权均属本网所有,任何媒体、网站或个人未经本网协议授权不得转载、链接、转贴或以其他方式复制发表。已经本站协议授权的媒体、网站,在下载使用时必须注明“稿件来源:中国教育在线”,违者本站将依法追究责任。
② 本站注明稿件来源为其他媒体的文/图等稿件均为转载稿,本站转载出于非商业性的教育和科研之目的,并不意味着赞同其观点或证实其内容的真实性。如转载稿涉及版权等问题,请作者在两周内速来电或来函联系。