第一节 空间直角坐标系
一、空间直角坐标系的基本概念 ★★★
在空间中取定一点O,过O点作三条相互垂直的数轴Ox、Oy、 Oz,各轴上再规定一个共同的长度单位，这就构成了一个空间直角坐标系.称点O为坐标原点,称数轴Ox、 Oy、 Oz为坐标轴,称由两坐标轴确定的平面为坐标平面，简称xy、yz、xz 平面.
三个坐标轴的正方向符合右手系.即以右手握住z轴，当右手的四个手指从正向x轴逆时针旋转90°角而指向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向.
二、向量的分量 ★★
有序数组(x,y,z)称为点M的坐标，x称为横坐标, y称为纵坐标,z称为竖坐标. 记为M(x,y,z).
以i、j、k分别表示沿轴正向的单位向量.
r=OM=OP+PN+NM=OP+OQ+OR,设OP=xi,OQ=yj,OR=zk.则r=xi+yj+zk，此式
称为向量r的坐标分解式.r在三个坐标轴上的分向量为xi、yj、zk.r=(x，y，z).
三、利用坐标作向量的各种运算 ★★★
1.向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式
a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),
a+b=(ax+bx,ay+by,az+bz)=(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k;
a－b=(ax－bx,ay－by,az－bz)=(ax－bx)i+(ay－by)j+(az－bz)k;
λa=(λax,λay,λaz)=(λax)i+(λay)j+(λaz)k.
2.内积坐标表达式
设a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj+bzk,
a·b=axbx+ayby+azbz.
两向量夹角余弦的坐标表示式：
a·b=|a||b|cos θcos θ=a·b|a||b|=ax bx +ay by +az bz a2x +a2y +a2z b2x +b2y +b2z .
由此可知两向量垂直的充要条件：
a⊥baxbx+ayby+azbz=0.
3.向量积的坐标表达式
设a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj+bzk，
a×b=(aybz－azby,azbx－axbz,axby－aybx).
向量积还可用三阶行列式表示
a×b=ijk
axayaz
bxbybz=(aybz－azby,azbx－axbz,axby－aybx).
由上式可推出两向量平行的充要条件：
a∥baxbx=ayby=azbz.
若三点Pi(xi,yi,zi)(i=1,2,3)共线x2－x1x3－x1=y2－y1y3－y1=z2－z1z3－z1x1y1z1
x2y2z2
x3y3z3=0.
（因为共线P1P2=P1P3，则由前定理可得）.
4.向量的混合积
设a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj+bzk,c=cxi+cyj+czk,
(a,b,c)=(a×b)·c=axayaz
bxbybz
cxcycz.
三向量共面的充要条件：
axayaz
bxbybz
cxcycz=0
